分析：（1）①根據余弦的定義求出AB，根據弧長公式計算；
②根據扇形面積公式計算；
（2）①根據題意畫出圖形、根據弧長公式計算；
②根據扇形面積公式計算．

解答：解：（1）①在Rt△AOB中，∠OAB=60°，OA=1，
則AB=

OA

cos∠OAB

=

1

1 2

=2，
由旋轉變換的性質可知：∠CAC′=∠BAC=60°，
則點C的運動路徑長為：

60π×2

180

=

2π

3

；
②線段AC掃過的面積為：

60π×22

360

=

2π

3

；
（2）①當點B第一次落在x軸上時．
點B的運動路徑長為：

60π×2

180

+

120π×2

180

=2π；
②點B的運動路徑與兩坐標軸圍成的圖形面積為：△AOB的面積+扇形BAC的面積+△ACC′的面積+扇形CC′B′′′的面積
=

1

2

×1×

3

+

60π×22

360

+

1

2

×2×2×sin60°+

120π×22

360

=

3 3

2

+2π．

點評：本題考查的是等邊三角形的性質、扇形面積計算、弧長計算，掌握扇形面積公式、弧長公式是解題的關鍵．